Exercises: Derivative, symmetry and inverse of trigonometric functions

With these exercises, you may practice how to exploit symmetries of trigonometric functions and how to compute their derivatives.

1
Bilde die Ableitung zu folgenden Funktionen:
$f (x) = - \sin (x)$

For this task you need the following basic knowledge: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen
$f (x) = - \sin (x)$
Bilde die Ableitung nach x, beachte hierzu die Ableitungsregeln vom Sinus
$\begin{array}{rcl} f (x)^{'} & = & (- \sin (x))^{'} \\ = & - \cos (x) \end{array}$

$g (x) = \sin (2 \cdot x)$

For this task you need the following basic knowledge: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen
$g (x) = \sin (2 \cdot x)$
Leite nach x ab, beachte hierbei die Ableitungsregel des Sinus und die Kettenregel, $u (v (x)) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$ mit $u (x) = \sin (x)$ und $v (x) = 2 \cdot x$
$\begin{array}{rcl} g (x)^{'} & = & (\sin (2 \cdot x))^{'} \\ = & (\cos (2 \cdot x)) \cdot (2 \cdot x)^{'} \\ = & 2 \cdot \cos (2 \cdot x) \end{array}$

$h (x) = {(\cos (2 \cdot x))}^{2}$

For this task you need the following basic knowledge: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen
$h (x) = (\cos (2 \cdot x))^{2}$
Leite die Klammer ab und wende die Kettenregel an: $u (v (x)) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$ mit $u (x) = x^{2}$ und $v (x) = \cos (x)$
$\begin{array}{rcl} h (x)^{'} & = & ((\cos (2 \cdot x))^{2})^{'} \\ = & 2 \cdot (\cos (2 \cdot x))^{1} \cdot (\cos (2 \cdot x))^{'} \end{array}$
Leite $\cos (2 \cdot x)$ mit Hilfe der Kettenregel ab, wobei $u (x) = \cos (x)$ und $v (x) = 2 \cdot x$ .
$\begin{array}{rcl} h (x)^{'} & = & 2 \cdot (\cos (2 \cdot x))^{1} \cdot (- \sin (2 \cdot x)) \cdot 2 \\ = & 4 \cdot \cos (2 \cdot x) \cdot (- \sin (2 \cdot x)) \end{array}$

$i (x) = 3 \cdot \cos (2 \cdot x^{2})$

For this task you need the following basic knowledge: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen
$i (x) = 3 \cdot \cos (2 \cdot x^{2})$
Leite den Kosinus mit Hilfe der Kettenregel $u (v (x)) = u^{'} (v (x) \cdot v^{'} (x)$ ab, wobei $u (x) = \cos (x)$ und $v (x) = 2 \cdot x^{2}$ .
$\begin{array}{rcl} i (x)^{'} & = & (3 \cdot \cos (2 \cdot x^{2}))^{'} \\ = & 3 \cdot (- \sin (2 \cdot x^{2})) \cdot (2 \cdot x^{2})^{'} \end{array}$
Leite $2 \cdot x^{2}$ ab.
$\begin{array}{rcl} i (x)^{'} & = & - 3 \cdot \sin (2 \cdot x^{2}) \cdot 4 \cdot x \\ = & - 12 \cdot x \cdot \sin (2 \cdot x^{2}) \end{array}$

$t (a) = 3 \cdot a^{2} + 4 \cdot \sin (3 \cdot a^{2})$

For this task you need the following basic knowledge: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen
Gegeben: $t (a) = 3 \cdot a^{2} + 4 \cdot \sin (3 \cdot a^{2})$
Gesucht: $t^{'} (a)$
Der vordere Term stellt ein Polynom dar und die Ableitung ist $(3 \cdot a^{2})^{'} = 6 \cdot a$ . Leite den zweiten Term mit der Kettenregel ab.
$(4 \cdot \sin (3 \cdot a^{2}))^{'} = 4 \cdot \cos (3 \cdot a^{2}) \cdot 6 \cdot a$
Führe die beiden Ergebnisse zusammen und erhalte die Ableitung von $t (a)$ .
$t^{'} (a) = 6 \cdot a + 24 \cdot a \cdot \cos (3 \cdot a^{2})$

$j (b) = b^{2} \cdot \tan (b) für b \in] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$

For this task you need the following basic knowledge: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen
Gegeben: $j (b) = b^{2} \cdot \tan (b)$
Gesucht: $j^{'} (b)$
Da $j (b)$ das Produkt von $b^{2}$ und $\tan (b)$ ist, verwende die Produktregel, hier: $j (b) = u (b) \cdot v (b)$ mit $u (b) = b^{2}$ und $v (b) = \tan (b)$ .
$\begin{array}{rcl} j^{'} (b) & = & (b^{2})^{'} \cdot \tan (b) + b^{2} \cdot (\tan (b))^{'} \end{array}$
Es gilt $(\tan (b))^{'} = \frac{1}{\cos^{2} (b)}$ .
$\begin{array}{rcl} j^{'} (b) & = & 2 \cdot b \cdot \tan (b) + \frac{b^{2}}{\cos^{2} (b)} \end{array}$

$k (m) = \frac{1}{\sin (m)} für m \in] 0, π [$

For this task you need the following basic knowledge: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen
Gegeben: $k (m) = \frac{1}{\sin (m)}$
Gesucht: $k^{'} (m)$
Da die Funktion einen Quotient darstellt, nämlich $k (m) = \frac{u (m)}{v (m)}$ mit $u (m) = 1$ und $v (m) = \sin (m)$ , ist die Quotientenregel anwendbar.
$\begin{array}{rcl} k^{'} (m) & = & \frac{0 \cdot \sin (m) - 1 \cdot \cos (m)}{(\sin (m))^{2}} \\ = & - \frac{\cos (m)}{\sin^{2} (m)} \end{array}$

$n (x) = \sin (\cos (x))$

For this task you need the following basic knowledge: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen
Gegeben: $n (x) = \sin (\cos (x))$
Gesucht: $n^{'} (x)$
Die Funktion ist verkettet, es gilt nämlich $n (x) = u (v (x))$ für $u (y) = \sin (y)$ und $v (x) = \cos (x) .$ Wende daher die Kettenregel an.
$\begin{array}{rcl} n^{'} (x) & = & u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x) \end{array}$
Leite $u (y)$ und $v (x)$ ab.
$u^{'} (y) = \cos (y)$ und $v^{'} (x) = - \sin (x)$
Setze dies in $n^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$ ein.
$\begin{array}{rcl} n^{'} (x) & = & \cos (v (x)) \cdot (- \sin (x)) \end{array}$
Nach oben ist $v (x) = \cos (x)$ , setze dies ein.
$\begin{array}{rcl} n^{'} (x) & = & - \cos (\cos (x)) \cdot \sin (x) \end{array}$
2
Prüfe, ob die folgenden Funktionen punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur $y$ -Achse sind:
$f (x) = 2 \cdot \cos (x) + 1$

For this task you need the following basic knowledge: Symmetrie von trigonometrischen Funktionen
Gegeben:
$f (x) = 2 \cdot \cos (x) + 1$
Prüfe die Funktion auf Symmetrie.
$f (- x) = 2 \cdot \cos (- x) + 1$
Der Kosinus ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
$f (- x) = 2 \cdot \cos (x) + 1 = f (x)$
Daher ist $f (x)$ ebenfalls achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.

$g (x) = 4 \cdot \sin (x)$

For this task you need the following basic knowledge: Symmetrie von trigonometrischen Funktionen
Gegeben:
$g (x) = 4 \cdot \sin (x)$
Prüfe die Funktion auf ihre Symmetrie.
$g (- x) = 4 \cdot \sin (- x)$
Der Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
$g (- x) = - 4 \cdot \sin (x) = - g (x)$
Das heißt, $g (x)$ ist punktsymmetrisch.

$h (x) = \sin (x - 6 π)$

For this task you need the following basic knowledge: Symmetrie von trigonometrischen Funktionen
Gegeben:
$h (x) = \sin (x - 6 π)$
Da die Sinusfunktion $2 π$ -periodisch ist, gilt $\sin (x - 6 π) = \sin (x)$ .
$h (x) = \sin (x)$
Das bedeutet, dass $h (x)$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist, da der Sinus punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
3
Ordne dem Graphen die richtige Funktionsgleichung zu:
$f (x) = \cos (x) + 3$
$f (x) = \sin (x) + 3$
$f (x) = \cos (x) - 3$
$f (x) = \sin (x) - 3$

For this task you need the following basic knowledge: Symmetrien von trigonometrischen Funktionen
Betrachtet man den Graphen der Funktion, sieht man, dass der Graph achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse ist. Deshalb kann man die Funktionen $\sin (x) + 3$ und $\sin (x) - 3$ ausschließen, da die Sinus-Funktion punktsymmetrisch ist.
Es bleiben also die beiden Kosinus-Funktionen, die man sich anschauen muss. Die Funktion $\cos (x)$ ist achsensymmetrisch, genau wie der Graph der gegebenen Funktion.Nachdem der Graph der Funktion die y-Achse bei $y = 4$ schneidet, kann man daraus folgern, dass die Funktion $\cos (x)$ um 3 nach oben verschoben wurde, also $\cos (x) + 3$ .
Somit ist $f (x) = \cos (x) + 3$ die gesuchte Funktion.
4
Ordne dem Graphen die richtige Funktionsgleichung zu:
$f (x) = \sin (x + π)$
$f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$
$f (x) = \cos (2 \cdot x) + 3 \cdot π$
$f (x) = \cos (2 \cdot x)$

For this task you need the following basic knowledge: Symmetrien von trigonometrischen Funktionen
Der Graph der gesuchten Funktion ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse.
Somit kann man die beiden Funktionen $\cos (2 \cdot x)$ und $\cos (2 \cdot x) + 3 \cdot π$ ausschließen, denn $\cos (2 \cdot x)$ ist die Standard Kosinus-Funktion bloß mit einer größeren Periode und $\cos (2 \cdot x) + 3 \cdot π$ zusätzlich noch um $3 \cdot π$ nach oben verschoben.
Bleiben also noch die beiden Sinus-Funktionen also Lösungsmöglichkeiten.
Die Funktion $\sin (x)$ ist punktsymmetrisch und im Intervall zwischen $0$ und $π$ positiv, die Funktion des gegeben Graphen ist punktsymmetrisch und im Intervall von $0$ bis $π$ negativ, also suchen wir eine Funktion die $\sin (x)$ um eine halbe Periode verschiebt.
Da die Periode der $s i n (x)$ Funktion $2 \cdot π$ lang ist, muss $\sin (x)$ um $π$ verschoben werden. Darum ist die richtige Lösung $\sin (x + π)$
5
Ordne dem Graphen die richtige Funktionsgleichung zu:
$f (x) = 2 + \cos (3 \cdot x) - π$
$f (x) = 3 \cdot \sin (x)$
$f (x) = 2 \cdot \cos (x + \frac{π}{2})$
$f (x) = - 2 + 2 \cdot \sin (x)$

For this task you need the following basic knowledge: Symmetrien von trigonometrischen Funktionen
Betrachtet man den Graphen der Funktion, dann sieht man, dass der Graph achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse ist.
Betrachten der Sinus-Funktionen:
Weil die Funktion $\sin (x)$ punktsymmetrisch ist, kann man die Funktionen $3 \cdot \sin (x)$ und $- 3 + 2 \cdot \sin (x)$ als Lösung ausschließen.
Bei $3 \cdot \sin (x)$ wird die $\sin (x)$ Funktion in die Höhe gestreckt. Das heißt, die Funktion hat eine größere Amplitude.
Bei der Funktion $- 3 + 2 \cdot \sin (x)$ hat die $\sin (x)$ Funktion auch eine größere Amplitude und wird zusätzlich um $3$ nach unten verschoben.
Man betrachtet also nun die beiden Kosinus-Funktionen.
Die Funktion $2 \cdot \cos (x + \frac{π}{2})$ kann man ausschließen (siehe Abbildung unten). Denn sie hat eine größere Amplitude als die gesuchte Funktion des Graphen. Zusätzlich ist sie auch noch um $\frac{π}{2}$ nach rechts verschoben, die Funktion des Graphen jedoch nicht.
Die gesuchte Funktion ist also $2 + \cos (3 \cdot x) - π$ , da sie eine veränderte Periode hat und zusätzlich um $2 - π$ nach unten verschoben ist ( $2 - π \approx - 1,141$ ).
Veranschaulichung der ausgeschlossenen Funktion $2 \cdot \cos (x + \frac{π}{2})$
Für diese Aufgabe ist es hilfreich, nach dem Ausschlussverfahren vorzugehen. (Das heißt, du überlegst dir, welche Antworten nicht richtig sein können und entscheidest dich für die einzige Antwort, die übrig bleibt.)
Überlege dir hierfür:
Welche Symmetrieeigenschaften hat die Funktion?
Inwiefern wurde sie entlang der y-Achse oder der x-Achse verschoben?
6
Löse die folgenden Gleichungen nach $x$ auf:
Gib eine Lösung der Gleichung $2 \cdot \sin (x - π) = 1$ an.

For this task you need the following basic knowledge: Trigonometrische Umkehrfunktiion
$2 \cdot \sin (x - π) = 1$
Teile auf beiden Seiten der Gleichung durch $2$ .
$\sin (x - π) = \frac{1}{2}$
Verwende die Umkehrfunktion des Sinus.
$x - π = \sin^{- 1} (\frac{1}{2})$
Löse nach $x$ auf. Betrachte hierzu den Graphen des Arkussinus und erhalte $\sin^{- 1} (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6} .$
$\begin{array}{rcl} x & = & π + \sin^{- 1} (\frac{1}{2}) \\ = & π + \frac{π}{6} \\ = & \frac{7 π}{6} \end{array}$

$\cos (x - \frac{π}{2}) = 1$ für $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

For this task you need the following basic knowledge: Trigonometrische Umkehrfunktionen
$\cos (x - \frac{π}{2}) = 1$
Wende die Umkehrfunktion des Kosinus an.
$x - \frac{π}{2} = \cos^{- 1} (1)$
Betrachte den Graphen des Arkuskosinus und lese ab, dass $\cos^{- 1} (1) = 0$ .
$x - \frac{π}{2} = 0$
Löse die Gleichung nun nach $x$ auf.
$x = \frac{π}{2}$

$\cos (x + \frac{π}{2} - 1) = 0$ für $x \in [0, π]$

For this task you need the following basic knowledge: Trigonometrische Umkehrfunktionen
$\cos (x + \frac{π}{2} - 1) = 0$
Wende die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion an.
$x + \frac{π}{2} - 1 = \cos^{- 1} (0)$
Betrachte den Graphen des Arkuskosinus und erhalte $\cos^{- 1} (0) = \frac{π}{2} .$
$x + \frac{π}{2} - 1 = \frac{π}{2}$
Löse die Gleichung nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcl} x + \frac{π}{2} - 1 & = & \frac{π}{2} & | - \frac{π}{2} \\ x - 1 & = & 0 & | + 1 \\ x & = & 1 \end{array}$